Systèmes : plus d'équations que d'inconnues - Corrigé

Énoncé

1. Le système linéaire d'équations  \(\begin{cases}x-2y=7\\5x-y=2\\2x+3y=10\end{cases}\)  a trois équations et seulement deux inconnues...
    a.  Peut-on l'écrire sous forme matricielle ?
    b. Le résoudre

2. À présent, on considère le système linéaire d'équations  \(\begin{cases}3x+2y=10\\x-y=5\\2x+3y=5\end{cases}\) .
    a. Peut-on l'écrire sous forme matricielle ?
    b. Le résoudre

3. Que penser du cas général d'un système linéaire qui comporte plus d'équations que d'inconnues ?

Solution  

1. a. On peut écrire ce système sous forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\5&-1\\2&3\end{pmatrix}\) ,  \(X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix}7\\2\\10\end{pmatrix}\) .
Le produit  \(AX\)  est bien compatible et son résultat est une matrice colonne de 3 lignes.

    b. Pour le résoudre, on va considérer seulement deux équations, par exemple les deux premières.
Le déterminant du système  \(\begin{cases}x-2y=7\\5x-y=2\end{cases}\)  est égal à 9 donc il y a une solution unique qui est  \((-\dfrac{1}{3} ; -\dfrac{11}{3}).\)  Or,  \(2\times (-\dfrac{1}{3}) +3\times(-\dfrac{11}{3})=-\dfrac{35}{3}\ne10\)  donc le système n'a pas de solution.

2. a. On peut écrire ce système sous forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}3&2\\1&-1\\2&3\end{pmatrix}\) ,  \(X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et  \(B=\begin{pmatrix}10\\5\\5\end{pmatrix}\) .
Le produit  \(AX\)  est bien compatible et son résultat est une matrice colonne de 3 lignes.

    b. On peut remarquer que la somme de la deuxième et de la troisième équation est égale à la première équation, donc dans ce système il y a une équation en trop.
Pour le résoudre, on peut donc ne garder que deux équations, par exemple la première et la deuxième.
Le déterminant du système  \(\begin{cases}3x+2y=10\\x-y=5\end{cases}\)  est égal à \(-5\) , donc il y a une solution unique qui est  \((4 ; -1).\)

3. Quand un système comporte plus d'équations que d'inconnues, il peut avoir des solutions si les équations sont liées entre elles, c'est-à-dire que certaines équations sont redondantes.